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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 etD,cNUg  
$xae4J&3  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. SO$V)37A  
Q[W /md^  
　　1、三角函数本质： lax/\Q  
SL?=V0\V  
　　三角函数的本质来源于定义 mnsY[f[X  
Y@L{6_f  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  G\P o8R  
x!+3ub}B  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !G1D]'+  
dV- RY#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;T/ 0,  
<dFh('k!  
　　推导： M#!&JxA  
>-LAV5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 V;jf!A^\J\  
r)ft z7;"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )K {/ F>"*  
r\^Y?h  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y-FxWb  
j~5 I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2  <qw$U/f  
vrc1I!  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 5hlEJcNU}  
?/ 2w\c  
　　[1] $c]& D}|  
8(K'f@(0,  
　　两角和公式 s>BG{i  
D h1\*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB xxlc ^F{  
4 *Nw6Y  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )${~<xzm  
S>A=8@K5:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 26(?~?F4i  
mZXMpJ1sA  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +xXwNVR<<K  
&eLl&.="m  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,/I +'c  
pdY=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) c2|PRi;.  
EUlTAl&k @  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Yv8APC=V  
B(I^tG$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -*!2z|v=  
S}FgT  
倍角公式 _5 2`Wu`  
m cf#,849  
　　Sin2A=2SinA•CosA Az#5V %  
7 >Y` ex  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 u1 "lb   
y,(wRy+4K  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4+6EvE3J  
 9Qp_G`>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ) wG{(|f1  
m/RXF`Qt  
三倍角公式 eZ~mJ|c~"  
s..dO'Zt<  
　　 XmZq>'7  
rlX>JsJ,m  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) :.s)Pz*  
-:b<N!$k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) xz#2TscT  
wciMen42]  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) PdW'}b:  
6j3ph_~  
三倍角公式推导 fdz~m$ jT  
@T' y \c  
　　sin3a "*>mN<7  
.{)JME%x  
　　=sin(2a+a) kO& NS{  
0A|5dgM>  
　　=sin2acosa+cos2asina . @ @;  
uuTO7 9t~z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 7>DN5 V{  
Z^"42C2I)  
　　=3sina-4sin³a A68b",6{r  
d$OEa~  
　　cos3a k;/^Mj)3\  
 EzTmp  
　　=cos(2a+a) Fq{I+[*T  
)=8toU)M  
　　=cos2acosa-sin2asina \Ii Crs  
~;A>Q)  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa C0cN"zW`47  
"cdhlT  
　　=4cos³a-3cosa 2f G,M  
jBRl5c}=  
　　sin3a=3sina-4sin³a %<2M~  
(\uw  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,<f /nM4g  
k;&we  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] />MI|'W3  
mE?I5EE.  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (:Fs dV   
MEX`rJ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *Boq+SH7  
16Mq~$] 2  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] rt;m=Fnfn  
rE5 =UN  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) TLIQ66tp  
d@t"8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa [HY4 / C  
H_[ ^J   
　　=4cosa(cos²a-3/4) y!'~BM  
|IaXkBvI  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] k,*d497zc5  
%qd N g  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 8<Ui48-=  
.{G~x{"[h  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) rv1eC  
1]fpGL.t{w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} c*n+7>uB  
t 8&D;o_J  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 1Ep"H7k  
KgKy[jJk  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 65vmD feHj  
m8q Dm?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  F*#l  
FmA'%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Ie^^](SpA  
gi]J4lA  
　　上述两式相比可得 *AZ}\k,5  
Q,.ymG>$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +l}f_Jt  
.3mPvm?&a  
半角公式 SsI `^gJT  
Ajf dTN]>  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); i z*nniYnB  
FRz&W2 z  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. a6U2=-X5  
$ts/1{sg  
和差化积 !2/"Pk6&+%  
@%)F*ui_]  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Mg~D|wo  
Mn +4BG\ji  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cn$g8 <uv  
HlEMM  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kIqv,o)[  
^y,Lxm  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :ab)XC,  
0\ qw.N &  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }}9lc1  
+9F*f_pi  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) >dCYU  
v L]\<i{  
积化和差 =HU[Y$[  
Bq6:5n  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] lx *_}cD  
)Q.K;@n|  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]:<PWiS2Y  
~25K>fR  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] j4Bq4xV)~  
F~m thn3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] pgE=.`eH  
z%bO[_Aq  
诱导公式 6ii,m5\  
HsDV\ J}F  
　　sin(-α) = -sinα $^2X%d3  
p.%} |  
　　cos(-α) = cosα $a\rK7  
c14Oo  
　　sin(π/2-α) = cosα </d9(}wZ)  
L+0(l/m%  
　　cos(π/2-α) = sinα c lNHDiR9  
0u>j&2^p&T  
　　sin(π/2+α) = cosα U?w?\ _9  
]WW]op}_}  
　　cos(π/2+α) = -sinα I,0& _`  
7q kV:  
　　sin(π-α) = sinα P+}37P0/l}  
lH(o,=j#`  
　　cos(π-α) = -cosα ?)1y&  
J$p&v67U  
　　sin(π+α) = -sinα t,5S%oCm  
?ZUz >}f^  
　　cos(π+α) = -cosα @D]oe X+p  
*(KV 7J  
　　tanA= sinA/cosA -YU'?96  
4YU(,9qD@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα SJ'pH4l<?  
i -A~iz  
　　tan（π/2－α）＝cotα Q @W"H ,  
NvD9U]V  
　　tan（π－α）＝－tanα mdU^8+h]  
B'AqF&U0  
　　tan（π＋α）＝tanα  Me+l  
*^ 5l<'g&  
万能公式 *d(06cjDa  
ZZE5}Iy  
　　 6CjFEzE%0  
H8>p)EK  
其它公式 piIIlzF='B  
[b R@s  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 &5waEVg  
#jyQpI*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c,M|Yoo  
nY|q`BnYx  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 }KK;9=dx&  
G"as<2|RV  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 x,gt`pz)|  
"]i!NA8  
　　对于任意非直角三角形,总有 N,bY]b  
Q].1T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ( RD*/:m  
oSRoHJq,.  
　　证:  A,vaVW  
lNF+tu 0  
　　A+B=π-C ;^bvLVIW  
dgAW!B16  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?KlXM  
_Hm54 L  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 5&wY/ oh  
MZ qi  
　　整理可得 YnIE/6#x7  
! vwVRBO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %vZx ._  
T7&2f8!`J  
　　得证 dT*r_o  
XZ,X(X   
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^ya~xJU u{  
x7 Kve5X  
其他非重点三角函数 t:X<%_Dg_  
: e N>d#  
　　csc(a) = 1/sin(a) {~_]8r  
W}X5Dhd  
　　sec(a) = 1/cos(a) F 6(uff  
*CD6DN  
　　 SlgPZf  
JD}Dy rejD  
双曲函数 7q6!K%A%  
T:!s<bhq  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 xpjQc6*  
SKT;%+,P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  {\E{W zS  
<dLkLV5z  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $9'No 1y  
R|0 JIqJG  
　　公式一： C- ZE2)|  
rOUDwx/_Mm  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Zs7`@phe  
@\)1i dq7  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ?=@P ,`".;  
{g^Rxc)  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 72%;r B  
# bW (-)l  
　　tan（kπ＋α）= tanα u5zA C$  
}P 81p+  
　　cot（kπ＋α）= cotα [2?WT!^j  
"#v_-iO$,  
　　公式二： ec + ;  
Tp  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： gpxj1%SY  
2%j[FoPs-  
　　sin（π＋α）= -sinα h(vZ6U  
\p CdR2  
　　cos（π＋α）= -cosα sBd%Eyy" +  
M;a8~'(  
　　tan（π＋α）= tanα $h1,\ {#  
|zgu4)!  
　　cot（π＋α）= cotα !^(]q/  
)"*F^>Ra  
　　公式三： tK$mxZ@'$~  
02H?3&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;m="-w  
kxj2"B4  
　　sin（-α）= -sinα bA_^v!t5m  
v:EiClS  
　　cos（-α）= cosα muN<!*r'  
pYPre%w  
　　tan（-α）= -tanα G7UGAI`  
dq<SUIr5l  
　　cot（-α）= -cotα Ae#8dGs}  
ad=9Gq/1  
　　公式四： kgf;{  
<}}FUS  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： TM\tpvq  
<gQe(T/,  
　　sin（π-α）= sinα  BUzFIR  
}C7 FPN#  
　　cos（π-α）= -cosα v[EcbcAW '  
n~x*<If?X  
　　tan（π-α）= -tanα `pr beE  
M8 S':Ubi  
　　cot（π-α）= -cotα /lW{`n}R 4  
VR^H"=]8  
　　公式五： 5Jc 8 v%  
?:wZW54  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： (ZdPCHye  
=.Kt>M  
　　sin（2π-α）= -sinα 20y<s y :  
B67' eu[  
　　cos（2π-α）= cosα E7$& %;  
PTCCvC]J  
　　tan（2π-α）= -tanα <eAVONdl  
-f*"_Di  
　　cot（2π-α）= -cotα txOC1mia  
LJwN2hq  
　　公式六：  ys9E0  
II m[Xb  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： #/./y;SU-  
[,SH!yPF  
　　sin（π/2+α）= cosα 1];i33e]  
sa! 4&q  
　　cos（π/2+α）= -sinα L@U5TTD~  
o@V4)au  
　　tan（π/2+α）= -cotα Oj{MdF%  
oQRyd+UFx  
　　cot（π/2+α）= -tanα OlSv 7H*U  
b0B cU.#9i  
　　sin（π/2-α）= cosα uvu}NDssa  
ePI9{"6n  
　　cos（π/2-α）= sinα bQ E'Sl7  
U/8L]f~  
　　tan（π/2-α）= cotα ;^C@/J8G{  
yp,,44  
　　cot（π/2-α）= tanα aH.@4!it'  
JIM[\E(;u  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \BK,O,I#  
H )Q  
　　cos（3π/2+α）= sinα IX >7Bl.  
q;tzv4Q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα xKT((y  
J)H![m}F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Tc3))?>   
M,l<F=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα z:~I?  
4)y]";&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n_*7]s)D  
*Ek -vqy-}  
　　tan（3π/2-α）= cotα e&1=GEb~~R  
t_Q PxA/  
　　cot（3π/2-α）= tanα }nLT'p$ %  
4)]@!3=6[v  
　　(以上k∈Z) (~rjL]Gs  
ASc+Y#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 AZd_u8p;+  
Y("Lm?zS  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = r% "4=:ib@  
r.\S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } _vf Gy!  
r;6Uc :!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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