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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 1LGRsbY3  
zn*qda )  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4{.@ln,#'  
/m>7BMJU)  
　　1、三角函数本质： +Hz.bVho-  
Rn ={.?L  
　　三角函数的本质来源于定义 ^C= <= "  
Uqd|r_~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 x4M!_!${p  
x 5~9/y@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 C'!1V2  
;[g?"#\B{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Lt8wY|BL5'  
`ne~`t`,  
　　推导： z-- wl%!Vb  
2OyA0*W5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 j7p\=/B  
A91Gsk\2l  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) b^aw) i  
Xi|va,fD`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -qt2@Z\wi  
6 ..~>|}  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 oE3l@D  
wv3N(c%g>M  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） i6Fp'HYgS  
?spRt6Z4*e  
　　[1] `+0~8nu)S=  
"v=8s TBu  
　　两角和公式 b n>>.>G!U  
9M`$Dy 9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB HpS)7\  
/6:Jf,f  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {-a,`P1O  
]a&'2B JO  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB e=1| 3\~>  
xz+/dDvtk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,7=C~(W  
._#/X'9y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) j.~Pa <.  
z&N}fo8  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) LR Uyr MA  
QCE{"7}lk  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8<fyrH  
<ac."98M  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +Mwd  
>\<ysw_:  
倍角公式 .AHbePL  
Z,?&O,Q  
　　Sin2A=2SinA•CosA hljOv^y  
-'$S:zW(u  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 7DI{p&&0j  
<As`K^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） PkRi-(1mS  
(6W#`X-W?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]v  V5N  
;w \yzWHY  
三倍角公式 5w"Uc-n  
t%w^OT$G  
　　 t{\B]zvH}  
eOfi0k  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rWttDfE;  
}e]|+!N  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a&Rsx;y  
}:EHmkSS  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) A2>z/Vqo.#  
R|*5+{  
三倍角公式推导 Ajj2Cn  
Cr"?HD8  
　　sin3a feq BzNcZt  
J"+VM9  
　　=sin(2a+a) %jYHt@>f m  
Ujgcz"Lt  
　　=sin2acosa+cos2asina F;ueKzub  
v {N4Z9  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina PGMD /  
6w't<J}6  
　　=3sina-4sin³a $>!GwOvD'  
&i$0oAF3  
　　cos3a YCe1)*=pK  
#y,O; /4  
　　=cos(2a+a) Y1"!gcTN!=  
50V1O&  
　　=cos2acosa-sin2asina K^ ,i-  
z&@p36  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;s5.hJk  
r>QwIS{  
　　=4cos³a-3cosa CIUb; Cv  
TP7U:8d  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]  {mg  
#h5q.D  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,v/fH}ux  
$$_Z+f0&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~DpgY&L<  
.R7wX z_  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) DT' %z-;'m  
ipM92b;i|^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %L_DLB  
8:Db6J\CD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] RE1iTUR!{  
`BItY :L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }MkljFe]Z  
HuW|3rCm  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ][gy%@C  
2Xpb[Y]  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2W9e#lNK  
"gQC b,|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] i 6F-"A  
a*5pH[y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) /776GjV  
" #kQ>z  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) |ruHFO@`  
WK@`ZKN}p  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?D(|+p<p  
d Pcgm1  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l, T_03qD  
~s6g/FQ;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] > 3zA  o  
'H*-4 }  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] >F$,1}  
H:EF{&  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) y's5xc&  
^\(O~D|  
　　上述两式相比可得 R([V\1  
R8~ >H>*PS  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) su Qd$ B  
.'C_D1i3Q  
半角公式 on^i.<e2.  
n8j?xq  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); | DgT8B  
c\R^ x`>l  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0yhdp8~v  
PHQXZd7  
和差化积 kZ%>r*&}hX  
i'kLfVmC  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @ZC]C~++F  
O #%nf $;F  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R/e+,`)1  
d!\B-!_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )<KtN  
G9pzLF"uF  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Vt=I@ |{  
8?McX:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^hXB:wS  
q _z<K  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) jG0]'tidx  
=Hbm9  
积化和差 brfhqdzBc  
8-&{IX  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] G=P%cs  
jW43Q_%N  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] XGH:Wf  
bylh)  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] mGO6<|rzS  
sNva|KG|  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] gN#y'ci  
W,L.$_  
诱导公式 rm ;XP5&g0  
QToz+-}7M  
　　sin(-α) = -sinα j&,>TM  
W /9k1V7ZT  
　　cos(-α) = cosα %[@t RLe  
PFY+j9rJX  
　　sin(π/2-α) = cosα /|LH,MpO  
3,+g?>G  
　　cos(π/2-α) = sinα ] +`~lW[  
Ds'wH  
　　sin(π/2+α) = cosα Dqc B:x:  
Yd:E33t^D  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8hNC!I$V.  
!fL%5  
　　sin(π-α) = sinα PP856j x  
{Dz`v `  
　　cos(π-α) = -cosα Y\X!oq"  
#a Z!K-.^  
　　sin(π+α) = -sinα ;+\5k  
x9J+E4">C  
　　cos(π+α) = -cosα Vf9oly|^  
[* O IIV  
　　tanA= sinA/cosA (>GsBk]%XV  
T;d&I%g  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 3[c-]L  
1:W@7r*  
　　tan（π/2－α）＝cotα .U9a94X$  
&Pjv`qS~k  
　　tan（π－α）＝－tanα cnC@H<^#  
, 'r^be  
　　tan（π＋α）＝tanα )NSE*  
/ <w<(}\  
万能公式 fj]p[30d:D  
#-f%jL4nk  
　　 ! }I 2n  
 !'t%"#tf  
其它公式 _y=g  
CI"pmB2Z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 %)rxa_p,  
ggVZq@  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 UJ1Z.N#j`  
|R(jGHZ6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 cZLVr|*  
jS@:1T9@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u46u.  
L_]jwOn6  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?ShY:Pr6  
l,YAir!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `n9I+q0I  
$,CfMf}?S  
　　证: aDz~<>9+  
}!e@Q92/8  
　　A+B=π-C ,y_F"JU9:,  
MM ?T ,rb  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Xg4|49M  
**e=84<X  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^M5 |{  
6wa!{Gr9  
　　整理可得 yO<FAZU~w  
d\0.44&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P"hfMo:D  
DSAnmYk\  
　　得证 in{?s_4@  
Qoncv^9x  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3@cS% )B!  
^:GdlX#L/p  
其他非重点三角函数 B:O3>UzN  
jGpxQ>"  
　　csc(a) = 1/sin(a) x&`1.\sBM  
<[K\1  
　　sec(a) = 1/cos(a) *n6NDzUZ4  
F9ut6<B~  
　　 43j N> Gt  
F w'=Snz  
双曲函数 Fsu1|k  
 hI6%5  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 - EfHdM  
.w;-iwt  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 - {FA~{1  
(M/$DP!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) K6Vq1]3F  
\hU2OhYpE  
　　公式一： E,i_X8  
Aj8EUgXo  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： N7":s]7 l  
tR>uP&bzN  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2 1>h;MiQ  
P~"~ cf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4 2BZ8c.  
ww6BxkQG$  
　　tan（kπ＋α）= tanα ~|`%BkHk  
B3HAc\\  
　　cot（kπ＋α）= cotα -[;@  
l^!&)Zz~  
　　公式二： b3'QArXd'  
Xekue3^NY  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： . E[HX]oY  
~ @EzFpW!  
　　sin（π＋α）= -sinα 2=i| ']r  
oK8-F24)  
　　cos（π＋α）= -cosα rC9#Ae~|U  
qAuU?5".tQ  
　　tan（π＋α）= tanα !]X<3A42Rj  
Bra3dsg$@  
　　cot（π＋α）= cotα 3ypz8N  
i{ $pp  
　　公式三： b_4t:Zo  
FdB@mgU  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $d_ss%rqy  
X+TVb{N  
　　sin（-α）= -sinα }n^zEc. #  
wa!wgzdh'  
　　cos（-α）= cosα k&Ys.+$^h  
kfY'Rj r'  
　　tan（-α）= -tanα ?zmo7;@  
gD'5+ ne  
　　cot（-α）= -cotα xG=j K  
rPb:'Hjm  
　　公式四： eWel[`bG[  
ln&24g,  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +CV9d/ceY  
|*$wy^ ;  
　　sin（π-α）= sinα yK+ 7IA  
MuN9q6  
　　cos（π-α）= -cosα ]m@\Awg  
q `>?d;  
　　tan（π-α）= -tanα |E_76+M  
wGN t:XOe  
　　cot（π-α）= -cotα GM.[ +d  
\tB }:GC  
　　公式五： >.9/ez)?P  
ZJGs&Y|+  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： N4wZn1K;  
S/x"*K9d  
　　sin（2π-α）= -sinα x!"&-B  
^#{4yWuA  
　　cos（2π-α）= cosα i%Rl '  
yZ\{FJ  
　　tan（2π-α）= -tanα 1l#9#  
Q!`CX,xM  
　　cot（2π-α）= -cotα 2_UOdSV7,]  
7:!u#ek.jh  
　　公式六： NNz# +5]v  
p:V5sl@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 9fqbCrP  
T5y1U'l^  
　　sin（π/2+α）= cosα _' BYw  
6l\*VF)&Ks  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2<Vy{(  
3la@fy(N  
　　tan（π/2+α）= -cotα b`F<>[{  
- d*%b-  
　　cot（π/2+α）= -tanα sg"<Oq7$  
|mmz1Bj^4  
　　sin（π/2-α）= cosα >_6=ey&] |  
w"}D|$;  
　　cos（π/2-α）= sinα 1`g\)I%;4  
kD84r  
　　tan（π/2-α）= cotα NHN".] [q  
rpT$g  
　　cot（π/2-α）= tanα n2X1'khK  
^!*| uz3u?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Vi.~#{Y  
a nogu$3  
　　cos（3π/2+α）= sinα d`6` W U('  
u@0K] _i  
　　tan（3π/2+α）= -cotα k]2,C"  
Gf5_oD8  
　　cot（3π/2+α）= -tanα T{k)./P\  
iM-[5];  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #X`/n4rJU  
L/x2mGX?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `E{uxh/n  
r#e*y}CiH  
　　tan（3π/2-α）= cotα -q+U"+2  
|>l-|-hm4  
　　cot（3π/2-α）= tanα : %+")  
L.4t}49H\  
　　(以上k∈Z) Ig1?q20P  
Z*yd3gCp.  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 PNYI{;~  
\$&BfMb  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = x|qaEbL  
,bqW)96S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S$^UYa4  
C>kcXX -$  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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