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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "X} ea|l  
J\c|^8^  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. >M[o+  
M8)W E4j  
　　1、三角函数本质： h6/dSbPu  
LIe+%  
　　三角函数的本质来源于定义 n( ]U$e  
_/Vse)aEd  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1z9ZFU  
K1f< f+5SH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ` RZlQ5? <  
*[z[xa'uM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： UZpeum;  
\L= 7f"  
　　推导： e xbCdB!  
+I)*r  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 <z"eM=j  
'"rSZH 5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Dk7msf/  
&EM9 BSq  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I~As4 @  
JV|$b\  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^ SIl/y8  
>Wv0E<o  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [RV: I  
O& P?\K  
　　[1] t  <@V  
Y Qb| 9~  
　　两角和公式 /'Z^+E#~  
#}17CO //  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :5HtsQ  
KF"4B]0{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  C>"xUmi6N  
#$H@HIs  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB SL>( 4  
'@>'c.  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB >M+ @   
._Wq/ /u  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7@?&OnI  
}[GnXSd/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) kqf]pV#Y)  
Nvj * IY<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \R&Rf62I  
mXx1AVd  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :qyIH}c\,  
{ol.-B  
倍角公式 O 0CtM  
O@*ETh7  
　　Sin2A=2SinA•CosA pEj.K76n  
J@t5=u?H\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 fVkfBZ%  
Ytz>x4:kc  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Tik<  
kNcx7M>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .Xh;@ p_=  
-#N ~3]z  
三倍角公式 2|XP&z";  
nnl7 [  
　　 lwW3 M '  
3uKuTnXU  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .J[vNqgP  
hn!#OQSm$9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) fm 5=H  
>ON*>!I cj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) lHK(Q<  
Tv}r#X;p\\  
三倍角公式推导 q&af(  
JqX=`$rAq  
　　sin3a mOn_.=}+  
n,P'S#  
　　=sin(2a+a) pHLOe=mh  
aZT|YSvn  
　　=sin2acosa+cos2asina f$WF0kl_#  
y7d`%n/M  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina bp|>qA02N0  
s-gt_<   
　　=3sina-4sin³a *{\VeU  
y.H@ #T)  
　　cos3a QVjXy[oE $  
q9 HrT*8D  
　　=cos(2a+a) ?@}GQQUq)  
F)k~\v5  
　　=cos2acosa-sin2asina .yc6*y  
:(Xu ry?)8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p|u$@g<  
Y\r-f5f  
　　=4cos³a-3cosa kB9vgr  
kB &y?2@'+  
　　sin3a=3sina-4sin³a b/h)65  
nAOkJKvB'@  
　　=4sina(3/4-sin²a) IA]>[AFt,=  
)_L< _%p  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .H12{7  
A.f66ri  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {l(o,vZ  
YpZ l)\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) sp4b..`I  
u4 1jWrS[  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] unjg) !MM  
xfDx!_:  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) '1o]8,b  
Gj |Xm8p1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Qs=MyZT/  
|QJ &ew$  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Xc9 pv  
>l~1]!2W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] |}iCLN  
QQ]Z}M"  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Aw2 DNQimw  
|Il7? m*dO  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6iDF>H;+  
zaqVb~dq  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m=R'/L-7v?  
po]/ExEA  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /C6TJ$*@  
0uO_td/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] W[}x@A`}$U  
>rf-O>E  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] >w?;}$BJ  
@S<2 }WD  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) J,0wU   
u@;?'01Sd  
　　上述两式相比可得 !C6|6H{  
6KMgA)  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /x/`#Ji  
$~.DKl.M  
半角公式 bwU^DSj(  
T:6th!c  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); v7cWii4  
R){Jgp+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0go0K n  
7fJa]FUmu^  
和差化积 Pi@U&lks  
vG`jd&  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^+2|\  
t??BG\B  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /JymPxa?<  
49Byy  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]vYP/hXm  
h9^N==.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3H`D%e'Ha  
rQc;AsX,  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xnXk7KhJ  
]g;~v^=c  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @@8gxt  
  gyo  
积化和差 W h((z(/^  
OBM>?we~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] y1I[d1  
p 0ntpk}f-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] R`+Ug  
>LKB^#H2P*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] @ ~kt-3=  
a\^WXX4  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 1am:lwlTS  
.i943  
诱导公式 eC;f200  
+o=ms-Q  
　　sin(-α) = -sinα YjUXW#59  
z[T [W'b  
　　cos(-α) = cosα FwGTe}UQ  
n{ |x+  
　　sin(π/2-α) = cosα _klq#sKbp  
 A7=}c>  
　　cos(π/2-α) = sinα a0,zZ;  
r^XU.7B  
　　sin(π/2+α) = cosα 5:U!P#  
|,4RzJ  
　　cos(π/2+α) = -sinα f0^"-J^7  
}m.g+&: %  
　　sin(π-α) = sinα g[*,H P  
a7*N:kE  
　　cos(π-α) = -cosα )\S.>OL  
DMg>K@ [n  
　　sin(π+α) = -sinα l#1%3 J6e  
C!=4k%hD  
　　cos(π+α) = -cosα mu)OO.2^2  
>;=}O0%G  
　　tanA= sinA/cosA />= ;d/  
9d%&"4o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα sZ}S;B]/{  
m6)@2O  
　　tan（π/2－α）＝cotα CZ8>0/2(  
}- = Ab  
　　tan（π－α）＝－tanα c"k{J_op}  
[gDr8  
　　tan（π＋α）＝tanα B`IIQB 8b.  
Iq[1\ .x  
万能公式 nq,lNYo  
!)$jR6i  
　　 #L+IK8y:  
TjO;W   
其它公式 IzWRL5ZX  
Yf'PVyn|  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?2k`3Z;If  
T pUB:aI  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^& q5$%  
>]\u`sR  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ns=D4c8X  
@e_xf%Hh  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 IP+ b>K9?  
`=Jo*JPF  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?rC10J.kQ$  
+vTY(\5`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jpRy8PQ  
'gKP7Ew,v  
　　证: ^;82*mC(  
S +L&#Je  
　　A+B=π-C >#$9U$  
r^$%f,Ll['  
　　tan(A+B)=tan(π-C) pUj@UeZo%  
6X4<HMTl-  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) $M +KZs  
f;^/@mBN  
　　整理可得 VJ+0:o8];  
& |Gi^Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?B!C5CbQ^  
[;rxf[=  
　　得证 @&Lm:HH  
 ;?bY.r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 (]{5:FA:  
+v9V oU`  
其他非重点三角函数 BUtDik  
1(4<[@>  
　　csc(a) = 1/sin(a) Q@[{ Gq] ~  
02:IZ1 g6  
　　sec(a) = 1/cos(a) E#Hr&]%  
@ f104]/  
　　 dp19Db-J  
6~RW ^oO]  
双曲函数 3xE_@2u  
*hT)!! Ga  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 f_+'< v1 q  
li KXWz#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D+d*4!  
}9O- l:/ )  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (Ml}k ;  
1C"Pw<v"  
　　公式一： uE vbyv$$A  
$+O 5#;?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 1yXEpI  
A*VsUP{ e  
　　sin（2kπ＋α）= sinα HF{6 b~  
eykNg<J.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα k&_:A-$'  
f@oU@/*  
　　tan（kπ＋α）= tanα u0ZLo\urj  
|ei9&O~  
　　cot（kπ＋α）= cotα h((.2!b<  
yzGmB+#   
　　公式二： gQk)SY-  
tStO@FS:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： bekFfWTd~e  
\#Hh;0W  
　　sin（π＋α）= -sinα _SL MMG!2  
ZDaBy1_  
　　cos（π＋α）= -cosα ^H`7CJ.l  
[~Bw]pQQ r  
　　tan（π＋α）= tanα 3#qC;@,s  
O d|hfV |4  
　　cot（π＋α）= cotα NhP9HYTJ8  
qF:xXr`xo  
　　公式三： V:.&(hEv7  
nfT@,+4w  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： f#i5wO$JA  
/a=k9-rK~  
　　sin（-α）= -sinα |[($gm  
//8IR)_M  
　　cos（-α）= cosα vd z~!B  
~[n~  
　　tan（-α）= -tanα 9=DRmK-}  
=&*t"gwZ  
　　cot（-α）= -cotα s\(%  
;r?#pCbM  
　　公式四： SaWerR2"*(  
+1yq@  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： (lW< Rqe  
[^)L7CBMD  
　　sin（π-α）= sinα Z26Tl6  
VP&cPq  
　　cos（π-α）= -cosα w5hqUk  
"b}k h_(  
　　tan（π-α）= -tanα vc>Ti0  
,L}Ki/,  
　　cot（π-α）= -cotα KrqDWM(`g  
"';KH]B-  
　　公式五： EJQ&w76  
+L9h"y4  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： I QZM~t!  
u<ls!DWXT  
　　sin（2π-α）= -sinα WKpNzY+v  
`~ iPp  
　　cos（2π-α）= cosα .8(JM &  
fSr}Ks  
　　tan（2π-α）= -tanα [#Rix7S*X  
@<(~[C  
　　cot（2π-α）= -cotα ym1aPm"_  
8XI:\<s!y  
　　公式六： Bu9kX{  
|7L){@L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： oF=Q[C  
>Lz EtfS9*  
　　sin（π/2+α）= cosα R+*} V0  
Mf9t `]  
　　cos（π/2+α）= -sinα & $3CZU4  
uw;/ a4Dpa  
　　tan（π/2+α）= -cotα %Iw QX 9  
e(Z-]u~&3  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1 WCo6  
)6!VxR-t  
　　sin（π/2-α）= cosα VK97i n U  
ETa^b9  
　　cos（π/2-α）= sinα |YfE&]Gq  
+ mzwCjp  
　　tan（π/2-α）= cotα h%:}dWk  
R9{mt  
　　cot（π/2-α）= tanα M(/'`uhP  
>9 q1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \}=44=c  
0vSi$jqWg  
　　cos（3π/2+α）= sinα 4S7*N  
/}20xG`=N  
　　tan（3π/2+α）= -cotα _nFQ! _)  
Ha{vrK  
　　cot（3π/2+α）= -tanα m[+>Yl}\  
UW9g5|)=J  
　　sin（3π/2-α）= -cosα unRFF6ON  
ZoYo?<%H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα v!S^H.<^  
HR7C|j  
　　tan（3π/2-α）= cotα 7E Qq_"  
9d W;[  
　　cot（3π/2-α）= tanα )i#TC[}  
; _#F-"  
　　(以上k∈Z) (dxZ'M%  
,_I!G<-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 uz ],xB9  
.J0jP  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1u8 jt/W  
M)W9?*Tw  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Nu2 1<  
^YfUf:&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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