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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 EIpJ$XXw  
(y^F#[it  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. f 6E d@d  
PiY@BVP;}  
　　1、三角函数本质： Iq%kmq  
"M'lW|ho>q  
　　三角函数的本质来源于定义 .lCGn^  
OM B"F$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Hk}u<`  
>YYaHL  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 B6n} 6A  
6K+-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8V@Ow-5-:  
0[>gFr{v5  
　　推导： 8@o~^'y%/  
8P|:kZr '  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Byl E,h?  
%}p|AFt&9c  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]!d# WrD  
-?%#A3  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YB)#wkY8'  
oQF=i <1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 E(}5KASS  
wp <fcS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ,cHS1mBVG  
85 4gqz`  
　　[1] PVsR'*a  
F\tQ?H]  
　　两角和公式 =1J=N,G  
]RVB0 y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 2!+;C:4  
>P5`#@q%m  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =.2!HH{&  
WmFzfn6:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $Sg!bUAq%  
i&KFR"  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB BA599{*9H  
V Co6Q"  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) F\6 wL  
hL qBl  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 10"km5YW  
B)wuAjKet  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  w3M) GABj  
3Edx1\zA  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) qfl9&  
T(1 EZaGP  
倍角公式 Y0[(M\F7  
YXj H}#{1@  
　　Sin2A=2SinA•CosA $ce5 y~  
]^af6[ q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ISA'5/|4B  
##I@!]=X  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Z+l5(QYl  
{N8TnKb  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） i]GhD1v  
Uo2$5 m'  
三倍角公式 i{ KqQ1^4%  
 O VD  
　　 Ak\ mJ97,  
y8W)~@iQ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) XJ5u (  
Dmg&8d  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) icE2u(?K>r  
QD' cCa  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ({pR I  
(`9' k&g^  
三倍角公式推导 !\aSK~U  
##M ;Dm#  
　　sin3a dV/ \WGmX  
k01o:eG\sy  
　　=sin(2a+a) YmC756  
Xbgzs(Ei  
　　=sin2acosa+cos2asina %#8j'Ptm+X  
G w*<>Z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4{?H8k  
[e#E.\>  
　　=3sina-4sin³a 9H>ev M  
;k$?.xE  
　　cos3a .L&hvTX]=  
F;A(<$ Kxq  
　　=cos(2a+a) XyzzMV7Dj  
;d ><oc  
　　=cos2acosa-sin2asina 2U/`'AQ<)  
p d72`MLD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  Ljama47  
;Eybv6ZA  
　　=4cos³a-3cosa n@]\we:A+  
/cA;mO  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9dvg oo|  
>t}5<I"  
　　=4sina(3/4-sin²a) .Z  :d  
%)iB-{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,>|`: `  
T b1L`j  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]xiZ  
"qa}(D\=P  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 9?ykS/f/  
,TT"A  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] SPO2dlL1  
jBP,Yr)1  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2-2LzwX  
HZW\Asc  
　　cos3a=4cos³a-3cosa |UffJ bsAE  
x<WUN:2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) u0g ujp`  
djw./_hiX  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .\x#NW{  
#_[z#EF  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }dC7 vOw:@  
JED=lLS  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) _.ApZ)2`  
x=Xt.TfHA1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} X,?)6GQ  
EvE= ]D'33  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Q _Uguoh  
*Sk)a8 =,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] $4<F}g  
, $4A/]N  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] I*- jwM(#  
pW?5yP6+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 'tq7P   
KaH|G|P?  
　　上述两式相比可得 &{qBC^  
ZbzGP^mD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) & $g -%Y  
>95H ^L`@  
半角公式 U#Z]HOIxy  
3yO!8h#S  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zzUYQeng  
v-cs}AKQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. n aG7hLD,R  
; u:cvu  
和差化积 -30m a`9  
fRVV[E]n@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {1;qzIv  
4Cx '71-0  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !J"GkWa<#  
<Ky'|}60  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4AVb?xe,  
oD.]tc  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4@p(E]f}  
xWBUh{dS  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) t:[b@&k0v  
h?x6[9E<tB  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) BLJdf,yf  
,n6w-vv)q  
积化和差 B0t'FVy&'  
?!sG{bp  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] F\42K#5  
0n3+|$8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Ffc{fe6  
!X3@ HK9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !!%   
1pV; dx^k  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @S y4$>>  
O5I@H]}#,  
诱导公式 M1.YiSBm  
cw!~hzy)6  
　　sin(-α) = -sinα T4,irh[#_  
tqBtCYp U&  
　　cos(-α) = cosα 3FSWw  
| ot[4@  
　　sin(π/2-α) = cosα 4+dJ&cPq#  
?hq7{yKi  
　　cos(π/2-α) = sinα &e2"|J#F  
@D*s12  
　　sin(π/2+α) = cosα \<]nC]vH  
FFAP/c m(]  
　　cos(π/2+α) = -sinα &x2 -ls;f  
b57l={{l  
　　sin(π-α) = sinα G"EI^#?;c:  
%>ki%5\  
　　cos(π-α) = -cosα BQPIghvGhX  
S58<1n g  
　　sin(π+α) = -sinα s(Fmo\g/  
\! -0$VfW  
　　cos(π+α) = -cosα Cr `N  
nK$jo`M  
　　tanA= sinA/cosA `) - g  
G 9tA6Td  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα {@]=[\4K  
Gvt8h-b;  
　　tan（π/2－α）＝cotα GV>Hkj0  
{D?c-P  
　　tan（π－α）＝－tanα C q72;8  
x `Za`.|m  
　　tan（π＋α）＝tanα +_ohOUE  
]A|9r  
万能公式 ' M%U{  
F351>uX_x?  
　　 uX]#T!Mj*  
Yr<oHny[M  
其它公式 [#0: $k  
;"FG/?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 w7 ^0>9^  
* Y9vo;6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 x7>v  e  
, en4`'f  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  AJ"fse3  
;aDEx,}  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 'H!EyP)  
&xX]IDT  
　　对于任意非直角三角形,总有 l(CtYYlu  
d`_YA%Jp,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC VT#O, r8  
6zJ-<t*.rD  
　　证: z,e?CHaQ  
j&kTW3nNW  
　　A+B=π-C V]2K}Y  
% l   
　　tan(A+B)=tan(π-C) y' R?,J~r  
=PYj}<\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) YNdLuv  
c8n*q[$d  
　　整理可得 X'2A1W  
"fi&,S  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )+.\]O:V  
ZkptaG9  
　　得证 TeU0y'  
fZ e/cnz  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 GJ6b;R(Q  
O6f\Rx+0  
其他非重点三角函数 xg)-v B  
J%e],}4  
　　csc(a) = 1/sin(a) @VZ~f12gtp  
v:}ipB)<F&  
　　sec(a) = 1/cos(a) zK?IA&xd  
!fUluw??r  
　　 N sQR  
ehTn*> G  
双曲函数 ilR]-p)p%z  
kQ)[6nw,%4  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Zdu~R)j2.  
qu[u(g [e  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 &<0{wB  
W[eAJnf $  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) K\,m<rH'  
k{gP#[vS  
　　公式一： l-&P$  
7-B<;/"P  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： d GkjFpQr  
p*ZK6;#>3K  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J1Y+hn8  
[*P|yt  
　　cos（2kπ＋α）= cosα *\73A0 f  
2z%PR\4/-  
　　tan（kπ＋α）= tanα R-x7^)x  
<PHqy ..#  
　　cot（kπ＋α）= cotα '"jC*8B"  
m]bXC%Mn5  
　　公式二： _{p-Kl)Np  
n[HV~]vHb  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： eL2*.d  
n:|]$5ft,  
　　sin（π＋α）= -sinα [I[GqNq  
m bhFx%fs  
　　cos（π＋α）= -cosα hKj1!W?  
tiSh8!=[?=  
　　tan（π＋α）= tanα %;$nmQ{J:Q  
Y:Q,l{q5"  
　　cot（π＋α）= cotα redY9s_KLJ  
6fF0%%$N*n  
　　公式三： b%\7^Nq  
r^x35X#i  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： bvuI2un  
8 mEJo ,  
　　sin（-α）= -sinα +=lI|c  
#j|` I"{K  
　　cos（-α）= cosα ~=z&h  
M c|&CBr  
　　tan（-α）= -tanα +Q&q?+  
Se.{I] K;  
　　cot（-α）= -cotα DZ xb`TS=  
Zj^px>Jd^  
　　公式四： 9;'Y_giqhk  
,pDb<?`p  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &/!ClMad,~  
'no;,Oi  
　　sin（π-α）= sinα =2/ !b yT  
+>{&47{!  
　　cos（π-α）= -cosα 8~\0zi-  
Guu]PjF  
　　tan（π-α）= -tanα qlGP}+C  
t6e eiF  
　　cot（π-α）= -cotα @= K[j^  
up>#[uA(2  
　　公式五： I J0P8C"U  
IX%6wlb  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `~V"/8-"  
FQ #*r/  
　　sin（2π-α）= -sinα dlgSU&"  
VV u5d\|  
　　cos（2π-α）= cosα {-&05_(d[g  
\[pwY  
　　tan（2π-α）= -tanα 197H<J5  
j GLC+HT  
　　cot（2π-α）= -cotα i3,E+s j  
; [ez0  
　　公式六： Ut,9dpmm  
R{*\?XK  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： (`dG$K  
zo+13d8  
　　sin（π/2+α）= cosα ;'S9sxCB  
}xR' Od5  
　　cos（π/2+α）= -sinα 09g!3*p  
>l43ha46E  
　　tan（π/2+α）= -cotα Sq&nIni7n^  
V&#c ^+  
　　cot（π/2+α）= -tanα RKpgS0W,  
3@/T9n m  
　　sin（π/2-α）= cosα `^wi0~EgN  
g AOBgL:S  
　　cos（π/2-α）= sinα b{vXn-z-nh  
;?"V> ,z  
　　tan（π/2-α）= cotα %'ZH:1UaV/  
)7aJI:B  
　　cot（π/2-α）= tanα }b/`gb,]C  
B[>QY,Si  
　　sin（3π/2+α）= -cosα $dF]nc5  
1fE vjU5  
　　cos（3π/2+α）= sinα n"'%]4*W9  
g 5d}zQ_{  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Du8Cy:  
AESU|m yK  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ty+OcA~'  
~ Q#ua("  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2H1mx.;4  
:7ZnB{/a  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :Xs+;!w=r  
~&9@`XWV  
　　tan（3π/2-α）= cotα VTUq 9 IX  
S7GGFf=  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,SC :!}}  
RBi=84I  
　　(以上k∈Z) %:?x+nDm  
G&I'\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M NU;J  
efs\\@Xt  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = tTI 6Z?  
9=cT@k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } mt-7lxM  
.lWE3*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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