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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 1brbc m  
~ Z;f:5  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F +WcM  
8*Gn~{oL  
　　1、三角函数本质： jiSNM4O  
#bLb+XJ1  
　　三角函数的本质来源于定义 y.UMV[%L  
%odOj(nM  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |Y/5 ZAr  
#`_j|F!i  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ;N-WWqam  
'MfRzvPP  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： F#X?T(/K  
! ,Sd56G  
　　推导： =#rSm8|2:  
7LdVed;85'  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4iG3RkZ#M  
J`,KS@<G  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) d{R?MG)k  
puRvC3w6Lm  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) i\8o%gI  
'_>s-6  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 DJ,7%+>  
z^IC|-1C#  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @\ M7[  
Qx^8$W{h  
　　[1] Gi<^*X*;|7  
N as#=R+|  
　　两角和公式 QN8|Z  
\M S/}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB .46Hl0? X  
&@.ut|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  44?4d>:  
'jQK >E  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB f_M7 a  
\,Mc2 ,(_  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB e-}t:Pus@  
S0<&F'OT  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fJ\ x1 a  
5M)R<Ba  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )rk]tIHeh  
lc=#8  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  i$7XRPxS>  
K_?J]|s  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) iYxj^isA  
KCgO J  
倍角公式 FKsgWw!,  
yp*z2"f@  
　　Sin2A=2SinA•CosA Af(h >sz  
|0A{}pD  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (94 6 X  
SzQDK;@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Q7>0i1p~6)  
gl[*^x|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Z M<lbZ2  
/}lk[!Fg  
三倍角公式 WNEG$Ehk,  
k&!U<xr|  
　　 r?=$B7fAt  
5"37V=2;6-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) V 5Ca^]W{{  
N7+Wt6kh  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) TPh$J/1:  
$ =xQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) a=>'S"w  
87EW1&,2{  
三倍角公式推导 4}]a<x  
m W3F8(_'%  
　　sin3a [n}N[[.  
$MjS\m   
　　=sin(2a+a) !X]k&S  
w(C)1%[bd  
　　=sin2acosa+cos2asina x92hdPf"}  
{)3w4  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina H ~IZkT86n  
zeC/+N2=at  
　　=3sina-4sin³a Z BOT3vn  
qAz!> >g  
　　cos3a q}/gof  
i^0.E  
　　=cos(2a+a) +F.OD  
bln$8&]  
　　=cos2acosa-sin2asina f#c:*i=H^  
w;8vCnA  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa eC&LFNI  
B3: FI s  
　　=4cos³a-3cosa D /zc6Tp:G  
>m3T3w 7M  
　　sin3a=3sina-4sin³a #K: gJh  
G1v`+w|D  
　　=4sina(3/4-sin²a) cS{s8>k  
/9LcfX7K  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Q_/h: 3a  
=8-1pF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]t~ea6t  
5^ .m6?H  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ZN)8?  
e;U)\yT  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] I) s.N/3  
$bWE,<uoB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) OOA1WJ1  
]!/x,_s'X  
　　cos3a=4cos³a-3cosa V'jzO O  
'1 !r\F  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;A~qrwR*m  
5"i$`4$-B  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8h4=CVEF  
Hc>Sw=E[  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) qYz<a0zge[  
B1Jk;`p2  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) %< AULYzV  
-h*6Ufv,)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} uA~ .` R  
f%&zc  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Wx*M_  
x"&N5Z%;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0k,a_Yh  
S3JH`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] :@G4f"o5h  
rKa@)O::  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) e'[Ka+U@l  
a7%c"^<  
　　上述两式相比可得 <Qm4s\vm  
"W@!2(2!  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =2@ve,  
n~z$lk9  
半角公式 .8#vL= `k  
 i4"r9 :  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Kd-u,6[  
zc2^}`/ :  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Y"[ cO{)  
M~r-,r-Q  
和差化积 <&fzaci3  
y2 B]?cf  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1 )KmVq  
8REnc =  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kQrN ]Sw7$  
|v8Dh&EDm  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `~ 65HXn  
wc$kcyt  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +r L-  
eM\e:%:U  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 4 Y71:)]Z  
"Gz86fby  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) b6!kJ\^n)  
vJIT}  
积化和差 RNnQ  
3[n ; h  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &H->|0Gc~  
>hj?&oRE  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9=y@~.E `  
nKn^ x33%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ck257K P  
g8b\Fk%'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2x rb=+  
01`I/r!z  
诱导公式 4T+Ieu6  
ZPXtLn}+s8  
　　sin(-α) = -sinα $sP;-BQHa  
h9-d%)  
　　cos(-α) = cosα [lp~SQ<ru  
.apd%-1  
　　sin(π/2-α) = cosα s0_R1LV8  
JVFn~ i;  
　　cos(π/2-α) = sinα I_ba6}3  
P,? 69J`d  
　　sin(π/2+α) = cosα 8kq`WE:  
Lb:.1q  
　　cos(π/2+α) = -sinα +tZ )7VoQ  
T <~4f_ B}  
　　sin(π-α) = sinα hs Gw`  
I/[IH  
　　cos(π-α) = -cosα c-\pAb8YMM  
BP$UCcP  
　　sin(π+α) = -sinα  K9iT SO  
:{Ws  
　　cos(π+α) = -cosα p_}R3^A  
:eb+T_?"X  
　　tanA= sinA/cosA mD%EI Tl  
tVDETtz  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \; hsl[w  
,xdj??LU  
　　tan（π/2－α）＝cotα hj'D\VC  
z:l |3P2  
　　tan（π－α）＝－tanα l;'"M'j  
nIk 8Gx{G  
　　tan（π＋α）＝tanα q'F??(  
Y+xs-  
万能公式 L,<Pn>-d  
5)Af0_z )a  
　　 Sb1 &K>  
tjY4Rh/Hr  
其它公式 /{%ue [s^  
mLSi<QC;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 vXZ,<HlM  
EReGk`(wrL  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7jai~G1R^g  
l?&9{]\zz  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 kBvCouj  
Y<fTD3Y  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K[1,*(f3  
~Y*6Nen  
　　对于任意非直角三角形,总有 ,FpA;bV2D  
T$."W5L  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -{ ySUUr  
%7a>vu<  
　　证: +T PQ`I=  
f0Ni=VNy  
　　A+B=π-C ^ LFZ[uK  
[G,{DZ8@G  
　　tan(A+B)=tan(π-C) hoDPg9/  
TUk V:'  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) B3}6>c  
bt%=B=vFd  
　　整理可得 oGj8  
[$40NKz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC X{!`29(l0  
Q<JB*nNz  
　　得证 /P`wF-q8z0  
kV18: sM  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 K =Q}yF  
)O0,mBs]F  
其他非重点三角函数 OW,obB9Csc  
1U<#vr!  
　　csc(a) = 1/sin(a) t- ++u!l  
Z'l[eC'5  
　　sec(a) = 1/cos(a) drWKG4S4P  
&8dM-3e  
　　 w{ItnU"  
u*}]b+Oqs  
双曲函数 z4dm0OP  
GfEL|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 '|mY[ky  
_U.10hF  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 utc7 >+}  
ugx!;!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) n6 J] s  
xFYbbqtO  
　　公式一： e 3@OM#[S  
UFdR>u3  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }*)U:~B&6  
!RM}GA P  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 3oE/U]Cg3  
@[hLjx7X.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =a:,[4@ [0  
8&%vb/b"  
　　tan（kπ＋α）= tanα 3N{p@aB3O  
'R&) -W  
　　cot（kπ＋α）= cotα UGWt@K@bd  
kS"jbol  
　　公式二： yW+h{-r  
f,S5dxfD  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ag)mA=4<=E  
u}O"8K  
　　sin（π＋α）= -sinα y!c+CbG;+,  
o uvsdB6  
　　cos（π＋α）= -cosα {y"sP`S  
P$Wh~fUg  
　　tan（π＋α）= tanα '"6\@,  
|EpgCL G  
　　cot（π＋α）= cotα sjqYJGx  
lBsJ*,1>  
　　公式三： n1*hX V  
yAUKDzpm  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： expk bs7  
tQ9j'B<x  
　　sin（-α）= -sinα y*,(eF)  
1~@ g@Lk4  
　　cos（-α）= cosα l~ =+{m*  
t$tZ15h*  
　　tan（-α）= -tanα B,]T8_Yr  
8e;MxM%A  
　　cot（-α）= -cotα TUu{TT4  
T-GyM3)  
　　公式四： W fp_km   
Dk;g@n  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： bmLVu3loz  
u]wk1m'  
　　sin（π-α）= sinα .Z>;a/GR  
"f7tB O  
　　cos（π-α）= -cosα JN[PPNdbkl  
%bh)UYC8  
　　tan（π-α）= -tanα ms+|+qzSg  
>%BY%@  
　　cot（π-α）= -cotα '/~}%AG&U  
dk1SOJzfVE  
　　公式五： F6}xCyf'  
R-ODg R$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 6vP G  
a? tE96X  
　　sin（2π-α）= -sinα ^.`7xS A c  
vQki*  
　　cos（2π-α）= cosα E gO}dp  
2qzY% b@)  
　　tan（2π-α）= -tanα %b[<c[oHI  
&=-,SQO3  
　　cot（2π-α）= -cotα SS l{JpQo  
Dy6-daw&f  
　　公式六： 2 :la:  
- AK~2lAYi  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @hs~%$r"  
:w5}9!{xK  
　　sin（π/2+α）= cosα v" =d~tN:b  
}{%|.Vau3  
　　cos（π/2+α）= -sinα "T\Qc(0w5f  
pN,pvy6'  
　　tan（π/2+α）= -cotα `@Z+/|H  
|eW= r~ .  
　　cot（π/2+α）= -tanα $OuhDneM  
]=pzAHep_  
　　sin（π/2-α）= cosα ai?PXsbM D  
uP0<)(  
　　cos（π/2-α）= sinα +<nf5$A[  
R.DDRF#O{'  
　　tan（π/2-α）= cotα %ji6":3jI  
9D~/p^}\+Y  
　　cot（π/2-α）= tanα g9a,_mq{   
(}-W_\7\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Zw? 1J$j  
_@ Y2tNN  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8^>/tqdDm  
l^uJ cf=  
　　tan（3π/2+α）= -cotα K :VXV  
,nPJ9M&XLz  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >cU~u`$  
ZSY/=Ti  
　　sin（3π/2-α）= -cosα t bkq:.`l8  
Cy6/5h53~  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ]\=f_=U29  
(T &u^U  
　　tan（3π/2-α）= cotα #cNGw=Q  
i[E2'KIk  
　　cot（3π/2-α）= tanα yto?T)  
s2X[)DJB  
　　(以上k∈Z) #ljwu/Hy  
PYW"N&~6PQ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Q':'Dp! 9[  
o7t*bV)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = BONLV] <^  
" G +yeD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } hn 6L1  
4[PlWD t  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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