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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DK&fr!6  
a1nZ.   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &!A`  
T$j#r  
　　1、三角函数本质： |1 ]8Rhq  
\\q 1i7  
　　三角函数的本质来源于定义 wQQ0t;Np  
mwxwQ( 9N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 gW8oAt  
u.E^[_UW  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ($'3J[  
8bXGI24k  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： >\LFH  
nida{qh/  
　　推导： E%sdd$%<|  
t;I! &F'KK  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6ca $$6  
~:R`4$Cv&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1Nodm$  
orU8mHu2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |{ko7*1  
JBDlBAI#R  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 JZI~ }+yu%  
kc]'PZ#t]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） F;NsCsB>  
!)*#"O(t  
　　[1] 0%ZI(@4  
MFGl xE|  
　　两角和公式 Md+m4U<of  
$.Q04rS0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1#y Zfs< (  
*4zb F8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  E)1SrZ/q:J  
Q .[3YTo  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]~k9l(P_  
KI+5F uL  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \]S%sIdT+)  
+O#Ya[UU  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /N@>qJf  
FLb\zcZ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Wv7.}U  
itL*.S s1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  uT\tM4-EQm  
ifMb$2  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) z*Hj-T*  
{*vt"lo/  
倍角公式 6!1-CMv]d4  
rV&ikR5  
　　Sin2A=2SinA•CosA rtflX9pf  
[{fV6/Gu  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 cnkz,eyc"  
u68,rMu&{U  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） A \3&;jP  
yEc~A{w  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） C{uB%mIB  
 5 x 1/}  
三倍角公式 P}73!2DB  
]AQ(-D9`WH  
　　 &"9 rMB}  
Fs"yS3h.*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,tMXmt4  
Xc4v|]t  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) mM%8}a'^#  
'x[]sk  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) z(:p1E  
7AMnt8Nz  
三倍角公式推导 _AS}"'QU<4  
;yL2~m{Bj  
　　sin3a 3'Bw#D,r<  
Y\cZ=;   
　　=sin(2a+a) f$Y:lW_e9  
0_hL :yX<  
　　=sin2acosa+cos2asina %V7e(j-CtU  
Zw\qqs  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina (dnw>AD3  
81m i{' 0  
　　=3sina-4sin³a msi-en  
ZXXh_bGlbb  
　　cos3a S+aF'D61  
1om'6`5Z  
　　=cos(2a+a) &j# f%+2  
q+.U[3:  
　　=cos2acosa-sin2asina HFS"%m}Xd  
1tOFnB^S?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa {twQWY8  
X'-hJx  
　　=4cos³a-3cosa SpIhv MF  
$ G1Z+7D  
　　sin3a=3sina-4sin³a p>Q1Zyr7n  
Cq6Ey-"rg  
　　=4sina(3/4-sin²a) #gXEG  
e 3PS;(E b  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  i7=fFI  
:YL{h(Ub  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 'ZuiJJlz  
J\9sqSd   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) na*ISvWZ7  
@' d^RbiL  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nQ]CLce3  
c DO 6iu  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) czv*R *  
]W frq>  
　　cos3a=4cos³a-3cosa atl d'  
uG^ }  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #\\g8UOM  
& A^mRAY  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Jje^;g^d  
{eyD0   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ZYx}M`  
U.sqC$i,i  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ./h&q'\\a  
Bx} 6C 1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3LtdJ6}y;  
L8MG3h  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) filuQ e  
D: <k.Bz_R  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] v&FwP2x  
qoD>a  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]kPd &X"  
E 'y"mB)!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) "d7eD3 I Z  
z!7kPKHB  
　　上述两式相比可得  zo(!] Z  
{t4m9kD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qE6Q* Kbt  
e+f65W]<  
半角公式 F%g`zR  
CaXJ)1w|Z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (PGV :%Y  
fMC}c2hX*  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 7;K<8J  
 ~ QHc W  
和差化积 1 k3kQ  
Y &PC-ebzy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] EzY_d  
rZHb2$[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1|-~ ,%  
Z Qzbbg=v$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mYh #<|'`  
4T$?~xAw  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F.m}K@/5  
@p$}?j-"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,1eQBTm  
dZ]+J6F?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) % 4NjL{\u  
Sw9]4R p}w  
积化和差 .C/@^@uT`  
stbCbrIm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9YK"0a[  
i]093\F  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vP ,'5tc,  
QFTk2 n$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !SUOn%LW  
bX"`q[!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~ 4tecOVK  
8? .#L'  
诱导公式 *pc 5>*V0  
^[+6zB  
　　sin(-α) = -sinα "ZLwQG'  
6Ej|@e  
　　cos(-α) = cosα `>euA0  
"g`uv+=>  
　　sin(π/2-α) = cosα iXI9lq<  
z:MM2|II7  
　　cos(π/2-α) = sinα {[%I~h ";  
H$<ntmsW  
　　sin(π/2+α) = cosα o9:'P  
t/~R-o  
　　cos(π/2+α) = -sinα pq)m`  
#}t!C  
　　sin(π-α) = sinα zc/n=A(  
owAHb!V,=  
　　cos(π-α) = -cosα \Y<+(_0i  
]:0sCsn;  
　　sin(π+α) = -sinα 4.K4Oi,]*  
1RH{+Cg1  
　　cos(π+α) = -cosα 8U)jA~(ZT  
IH4zm %GO  
　　tanA= sinA/cosA 'O`O^_  
p~0n. cxc,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Vs>r9)&B\  
rjYKST$  
　　tan（π/2－α）＝cotα X"`;]\5,%  
Ayo;IH|l  
　　tan（π－α）＝－tanα K:)[arYX  
scA/1N |y  
　　tan（π＋α）＝tanα I)C_XUT  
NW{J2= k U  
万能公式 _<R> G  
| 5 t=U_  
　　 hu Gr}u#  
0}yJo|O*R  
其它公式 :%a]8#}U=  
%)4`=A\H  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;:]+ Q`Kx  
M`].*&c k|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 2|z T6-  
WSc2 j  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 8 43l{D\  
^}u@T>  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 [ &KLH1  
),XL T!HH  
　　对于任意非直角三角形,总有 53> lSH\+  
0W: $N:}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }{o$ZRa{.  
V>/?3 F  
　　证: Oe#o;wd  
N^tBpGw  
　　A+B=π-C z8s[pHoH  
g%7]dn )`f  
　　tan(A+B)=tan(π-C) =oe;'tK%  
AYFu/VC&@Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) wVnJi  
rN GmW  
　　整理可得 CygIL+A~  
GC/+T,}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M<uH*LMO  
hlkH?BP  
　　得证 4hux{U\  
D6MV}qj.'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Fnf7ho$;  
p(qY,\r  
其他非重点三角函数 Bg8L)=^qE  
8b6raW[  
　　csc(a) = 1/sin(a) yr4"3kf  
h}{\3\"  
　　sec(a) = 1/cos(a) P?Y#n  
eJZa  
　　 5DoQ|d&ZZ  
*Mji+q  
双曲函数 y^qR4M"_2j  
q>MXS@<[~  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 T*P?J`-s  
AN;kS 8  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 `^mPzxR>T  
WD%jC<(Gt  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) PZIC;d  
9'FUqGv  
　　公式一： 2\Z{=/M3  
]YES;9!G  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +/3'%z%@  
.cF <gr*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα mv(kG  
>,,*  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ]1IutKI_7  
^Y.JI?6  
　　tan（kπ＋α）= tanα D 6f+0K  
@(?w9F 8  
　　cot（kπ＋α）= cotα h<E,2(ILd  
|. "oM '  
　　公式二： %HZLQ6  
8N0(Aqp  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q:. T'  
=\.9t@q  
　　sin（π＋α）= -sinα VpZ5ohv5  
J|8JMqEg9  
　　cos（π＋α）= -cosα  ]90hOw  
'i"bg=KDO  
　　tan（π＋α）= tanα Yvx:Z$d:  
2MAeeX$!6  
　　cot（π＋α）= cotα Jods'Q%  
O j.,5.5  
　　公式三： 6xHYuIE6$/  
1yw@   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： %<9`7Vbi4  
W >+.ImD  
　　sin（-α）= -sinα 7Z 8PXmO  
\+4 Z1'  
　　cos（-α）= cosα mc3au\%,  
cIft|t4  
　　tan（-α）= -tanα =GQo=)c&  
YyT O m  
　　cot（-α）= -cotα Q(Ii8Hf  
SA xf} _  
　　公式四： o:8Ie  
y^= [  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Du@<Y9"t  
vE4%gln  
　　sin（π-α）= sinα 6rY<JED_R  
HzF%a   
　　cos（π-α）= -cosα n `_/od7  
#,sR0QxD  
　　tan（π-α）= -tanα |K2K \=.  
F3<xL o.  
　　cot（π-α）= -cotα ]O\|d@WX,  
w)s U`ZY  
　　公式五： !|*j{g3  
|T5GkXU  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： SvPW!f5  
DmKwRlpx  
　　sin（2π-α）= -sinα x^W8j6_=  
[P|W4q n  
　　cos（2π-α）= cosα V=GkQ,Q4  
)M3ce4  
　　tan（2π-α）= -tanα @kT;x2=7s_  
Yyd`!a"_  
　　cot（2π-α）= -cotα Gxc*D-:j*  
ntlJsS1Q  
　　公式六： *JB$eh;F  
/a AoU G`  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 8_$\_?bOK)  
lDA$2g Nc  
　　sin（π/2+α）= cosα Du%7f2XQ@  
`<5B( ](  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0p16H  
/2>iC<s  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4+R|}s  
^re!so&F  
　　cot（π/2+α）= -tanα z>dj=  
fKML(zS  
　　sin（π/2-α）= cosα r u{_9!  
sHXyBh  
　　cos（π/2-α）= sinα ZX.:[}]y2  
T~Q?,,]yS  
　　tan（π/2-α）= cotα oOScBS  
V|!`wtS,  
　　cot（π/2-α）= tanα PL"&j_B  
q+d93FQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα {Q&=C;6Kaq  
\ZM!!L-  
　　cos（3π/2+α）= sinα pcEy'13  
<%B1 ?S[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα fO/`Eod=y  
]5 o;/9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;O%<k9'4St  
[1'fPIy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα wLz\32  
+w77p~2%X  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y7YHv$*&T  
W@23#bYY6  
　　tan（3π/2-α）= cotα x^#szrxhC  
Lx,jeG  
　　cot（3π/2-α）= tanα BQO;7_1  
=hAFquj,  
　　(以上k∈Z) fh8!!NRa  
" j9<F!TFc  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 _[)'p_ ZG  
pPGPuHsnl  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = kH5M K7 )  
5&p&%JKA  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ZWE%@bY8Ic  
t ( 5Lq  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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