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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 IOj*1ES$  
{)q{|^s  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ?mJ/a\{  
?!>qX@!+  
　　1、三角函数本质： \>Ju; ;-}  
yV!4TW1 ?  
　　三角函数的本质来源于定义 )#w!y`` ,  
4P>0|?z1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `Lk%uTd%@  
xicqYEd-n  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Z(-V9~:N  
MKe0jv\v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Uf~oK 2SP  
ozTm$vgeZ  
　　推导： :# x2c_  
)YV!iN=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >m0<WNIiK  
UKa#kq!sB  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %"q>7m  
Syw]@2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *spH+f+  
#0*zOZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 MlG<77G  
h&{- ON  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） eKP>x9  
k%Fb"|,p-  
　　[1] v&7sv  
5`A_&+9'  
　　两角和公式 ^YV(h-yb9  
) [hs},}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB z\Y8o+~,e  
1N9%uJk+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  z9a%n&X  
L9+g %TS  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R| {;XM  
7{6gL nk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \5 R1VsV  
o.rr+>My+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) DV/Ty?  
5 ^@Ke-  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -H]a|. ^o  
o`"z0i|5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  :ge<~K{vH  
' ~3W6Q  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m?;0:;w584  
2L'[xuFw|n  
倍角公式 B-;ZXzj  
oc0 2-=V  
　　Sin2A=2SinA•CosA /GNAdk|  
kmp&!Bf\E  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #^m*t+  
$KYI\[' _  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  -9[6|[a  
{=: : d  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） oP:F~gpLu  
4u8a>]/  
三倍角公式 @6uB(8u  
S~ ux8m  
　　 J$7I9))Gt  
*xcHXQ-z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _Jkq~  
-JwSDjQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) &VVus=e=:  
Cg>:y/ 78$  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) nKS*gu].Z  
;_e:6PY%  
三倍角公式推导 +0!17PP^  
lu*4;v  
　　sin3a QYD$  
H}mD<y'  
　　=sin(2a+a) IjdH3p^  
:{KA9Y!L5a  
　　=sin2acosa+cos2asina mZSj~f B5q  
{Tf45Y+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina |"Z>~8HU%A  
4"_*t)3x  
　　=3sina-4sin³a NBqk=Cr  
AB!Z x_#  
　　cos3a pdhS$|>H  
!GRO=kA  
　　=cos(2a+a) %OjLm+r}i7  
.Zln9 t)&  
　　=cos2acosa-sin2asina mH7L$y  
C#/*!DA>  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa JVIBxt3vm  
2#C_c17{y  
　　=4cos³a-3cosa jgSP\TS  
. )0j]/],  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]fU|sL<r  
w58YZ~dr8^  
　　=4sina(3/4-sin²a) b0 ($g  
KyxeksKH  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Q !4t/CV  
/WH1<3edp  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) }a*`2p?vOw  
l5G*\?Z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) w_<#53\  
a~Zu%%lD8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] $4%hQ h%  
4)A,=_j,  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 'RD|r_(V  
]L Rvb  
　　cos3a=4cos³a-3cosa h\r)@y  
:[j7<U g  
　　=4cosa(cos²a-3/4) hvED3M  
dJ @,d,'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Eu6:~1Zo{  
<$Ouk_  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) gL`EJ2].  
[260+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) E(h@8!  
\_aaD |*  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} I\ Pwx LQ  
m^"2uGz,  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) J^]J1i ~~  
KSi"J Fc  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `K_v*-:  
<m_sJ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] w YV|t_Apc  
'3{iCjvhm  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8$%vG\q<6  
'}fKt4(5t  
　　上述两式相比可得 "' k-2  
w8N~yY"  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !a$mKQH\+  
u(l&[}c?V  
半角公式 M9` |R2n  
5HFc%n&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); El]MHm  
e!B5?w  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /8Jenj%  
^%{=7DZm-  
和差化积 J2zqmn-  
k@z}K`w,s  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &~&P5  
 >'28g I  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +{jM/c1  
i/ vw]  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a`',xeB(  
+6|mp  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] { g'f6pd(  
gaY4XC  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) guZq z'  
)'<P9"l >  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) #~P5 Ew  
8H9.8Kp  
积化和差 r}_{uT&4  
X%xJ8(V$PF  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 37 41vS W  
%8~'SrLp7  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yJTd1 o|?  
Q.yMgj:  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] h{ h:5x  
X6)Q(U7;B  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] >eA![!v2  
IylCh&eHk%  
诱导公式 $t;JZc  
y9('Js9  
　　sin(-α) = -sinα ; W~zL/u  
rjW#Nz3sT  
　　cos(-α) = cosα Di= tda9"  
a({:=#wO@  
　　sin(π/2-α) = cosα t=.DHva  
9T)y/O4*  
　　cos(π/2-α) = sinα gVDXF:_  
LHWFj I  
　　sin(π/2+α) = cosα :EQxGnTU  
S5Q=~Wm2]  
　　cos(π/2+α) = -sinα BG5nVIwt  
mz"= 3$  
　　sin(π-α) = sinα <N (F{%  
s:GZH7  
　　cos(π-α) = -cosα ;:J>EqV-m  
7VAV2!=mM  
　　sin(π+α) = -sinα V1ix#hMJ  
5jL2~-w  
　　cos(π+α) = -cosα (5pe:yX%  
<: tz^I  
　　tanA= sinA/cosA P b1  15  
Qw:tO_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K<9y@JIx  
Q o=(um  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5S=ngp)o@z  
-m'9l  
　　tan（π－α）＝－tanα R7Ee$Gmf  
KmnA[_is  
　　tan（π＋α）＝tanα #~ fv*zF!  
VTx{w/g  
万能公式  nWhjgW  
{4,Ke&  
　　 1 aHw !n  
or}1{Nc&<  
其它公式 mc3$\Z8wO0  
EqA}yc}  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 D"CTs' >k  
TlCR~"x  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 "uN7yL1kq  
]gc S%h.  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 =68E6/G^  
Px0j/O~r  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 WY|t  V  
KLxvIp/u  
　　对于任意非直角三角形,总有 Gl@w[llgW  
RYmE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w4 i Z`3)  
w2tbv7>Z.  
　　证: p= M )MD/  
7x-V+Db` G  
　　A+B=π-C ~} qq3[2  
_bxZ1h'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) LF+~yG3c!  
ja3Q-@ 1X  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Za:LSiS  
*TN0^,X#T  
　　整理可得 29W3@ {=  
)x maVXM  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T*m(lQ34*  
Sa0e5=|t  
　　得证 PQa&HAe_  
.J{MB Al  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 E;/# <d;H  
ABB i:+w  
其他非重点三角函数 ~nfNpH  
(Af"*,]  
　　csc(a) = 1/sin(a) W}]#R;0_&  
&Je<9  
　　sec(a) = 1/cos(a) dp9<{G~w9  
evFyO  
　　 uViK)zH;!  
dDn iP<  
双曲函数 gPLMt  
tSfe a8P@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 XA jdpiI>G  
.8_D[g8c+p  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 28XY9uS:T  
6~!Np=h  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 6[Q3Rr  
\D7\P~h  
　　公式一： }*_*yI  
7Xi-]rR*  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I}(,z\/6k  
RjZ qQ:`i  
　　sin（2kπ＋α）= sinα RGPZ,X2fbu  
rC_!,0^c  
　　cos（2kπ＋α）= cosα s(I%h"Z  
4?8c}IL6  
　　tan（kπ＋α）= tanα <,@A; v  
pV}*FATV$  
　　cot（kπ＋α）= cotα T{c'k:2e  
EV=x7jx  
　　公式二： J0rI#P  
}4aFWdRN`|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 04y"[Gdd  
V;y75a6O  
　　sin（π＋α）= -sinα NqqvEXP  
zC9NB%^"D  
　　cos（π＋α）= -cosα oxw yL  
OJ;ymy2rt  
　　tan（π＋α）= tanα .Vq!9XbJ  
7? he)M  
　　cot（π＋α）= cotα P$$pV!}N  
u]+:<.\&  
　　公式三： Ik :]  
xR;x.mj  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B7u7UCxCB  
q,.8<Qk_1d  
　　sin（-α）= -sinα !m*&6.FU  
[<$vCS^|  
　　cos（-α）= cosα , T\n~MnT  
1T2j0 De  
　　tan（-α）= -tanα g\v?`#QNq  
\l[I)_y;QL  
　　cot（-α）= -cotα \$GYyo;7#  
4tIw%p4\V  
　　公式四： T("(z)&q  
4e :77  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -~0u~ B0,  
gUjo}R!#  
　　sin（π-α）= sinα { ?U|Pm;  
,q)@H'0  
　　cos（π-α）= -cosα 8JU^|Gs#v  
O!N'ut  
　　tan（π-α）= -tanα VZ@D}0PLU  
&f0 !Vea  
　　cot（π-α）= -cotα c{( ZqF '  
h'OYh =jd  
　　公式五： ?N7QG#2p  
':U4{@GL  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7\.hN.<  
ha`} s11.  
　　sin（2π-α）= -sinα Wuy_S z  
?"p+Zu;  
　　cos（2π-α）= cosα {'66-I&  
<-D+!sjc  
　　tan（2π-α）= -tanα YVoKiH  
OmnFr  
　　cot（2π-α）= -cotα 3rD!$Izp  
YyNv>  
　　公式六： O YMFJ  
y\yTp5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： vEh~\Y  
C<w^aYT4Gg  
　　sin（π/2+α）= cosα 4>.]$;Iv  
Bw`[X[+U3  
　　cos（π/2+α）= -sinα  !< ?2-  
rl3B$M{  
　　tan（π/2+α）= -cotα JcHF7kGc1b  
H(2$\.`>  
　　cot（π/2+α）= -tanα "SP!2  
J|Ep&$+  
　　sin（π/2-α）= cosα @ |^6fYwu  
+yv?{  
　　cos（π/2-α）= sinα bgQ:o  
M /*:Zp  
　　tan（π/2-α）= cotα A#Ax9w<d+j  
QgoJMElh  
　　cot（π/2-α）= tanα S2 \-W!6 p  
5'=i,dA]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα P ~dkE)Q  
xvfb//  
　　cos（3π/2+α）= sinα Hj%2ti8  
(IA,;G4L$  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 69E3x  
`X:PP/z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα p%4=s:%Q  
Ovx O Z@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα (b4pmN }y  
&`<a4TTR0  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <b9;GOk  
SRM{25,  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1t>78hzs  
~Pc8%Hq   
　　cot（3π/2-α）= tanα r8m9bu  
izf`aa)U  
　　(以上k∈Z) o<ql$m_|(  
ibg2{:/g  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Gau6CDa.  
Q/t:_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = g6C8{n,m  
Gs|W,wIl  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6?:zC\x4  
C7&, Xn  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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